Page 33 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

f
x
y
f
x
y
XIV.1. Igazoljuk, hogy az (x  ) y  f ( )  f ( ) , ( )  f ( ) ( ) ,
y
x
f
x
y
x
f
( f x  ) y  f ( ) ( ) , és az ( )  f ( )  f ( ) kétváltozós Cauchy
f
y
y
x
egyenletek mindegyike érvényes lesz kettőnél több változó esetén is.
Megoldás
1) Legyen x a és y b c ahol , ,a b c mind független változók. Akkor





c

( f a b c  f ( )  ( f b c  f ( )  f ( )  f ( ) .
)
b
)
a
a



2) Legyen x a és y b c ahol , ,a b c mind független változók. Akkor
b
c
f
a
c
f
a
( f abc  f ( ) ( )  f ( ) ( ) ( ) .
f
b
)



3) Legyen x a és y b c ahol , ,a b c mind független változók. Akkor
c
a
f

)
a
b
f
f

( f a b c  f ( ) (b c  f ( ) ( ) ( ) .

)

4) Legyen x a és y b c ahol , ,a b c mind független változók. Akkor


a
c
( f abc  f ( )  f ( )  f ( )  f ( )  f ( ) .
)
a
b
b
c
Az általánosítás tetszőleges számú változó esetén indukcióval történik, az elő-
ző lépések megismétlésével. Ennek az elvégzését az érdeklődő Olvasóra bízzuk.
XIV.2. Igazoljuk, hogy ha 2 (x  ) y  f ( )  f ( ) , x y , akkor
x
f

y
,
y
z
f
y
x

y
3 (x   ) z  f ( )  f ( )  f ( ) , x , ,z ?
Megoldás
Legyen x a és y b c ahol a , b , c mind független változók. Akkor



c
b
f ( )  f ( )
)
2 (a b c  f ( )  ( f b c  f ( )  . Ennek további analógjai:
a



)
a
f
2
f ( )  f ( ) f ( )  f ( )
a
a
b
c
)
f
2 (a b c  f ( )  és 2 (f a b c  )  f ( )  . Ha most
c
b


2 2
)

f
összegezzük a három egyenlőtlenséget, akkor azt kapjuk, hogy 6 (a b c 

 f ( )  f ( )  f ( )  f ( )  f ( )  f ( ) vagyis 3 (a b c  f ( )  f ( )  f ( ) .
c
c
a


b
)
c
a
b
b
f
a
Megjegyzés
Hasonló elgondolással, indukcióval bizonyítható, hogy hasonló egyenlőtlenség
áll fenn n darab változó esetén is.
y
f ( )  f ( )  x  
x
y

XIV.3. Igazoljuk, hogy ha  f   , x y , akkor
,
2  2 
y
z
x
z
f ( )  f ( )  f ( )  x   
y

y
 f   , x , ,z . (Jensen egyenlőtlenség)
3  3 
Megoldás

a b c d

Legyen x  , y  , alkalmazva az adott feltételt azt kapjuk, hogy
2 2
c
a

d
b

f ( )  f ( )  f ( )  f ( )  a b c d 

b
c
x
 f   , a , , ,d  . Legyen most a  ,
4  4 
190