Page 29 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

XII. Különféle háromváltozós
függvényegyenletek megoldása

Ahogyan az egy és a két változós függvényegyenletek megoldása eltér egy-
mástól, úgy a három változós függvényegyenletek megoldása is másabb mint az
elődjeié. Ez a másság főleg abban áll, hogy nagyobb a választási lehetőség, hiszen 3
változó változhat szabadon, de a feladat és a megoldás átláthatósága azonban csök-
ken, hiszen komplexebbek a lehetőségek mint egy vagy két változó esetén.
Gyakran próbálkozhatunk olyan megoldással, hogy az egyik változót rögzítve
(jól megválasztva) a feladatot visszavezethetjük egy kétváltozós egyenlet megoldá-
sára. Ez különösen akkor lehetséges, ha a változók szimmetrikusan szerepelnek.
Amennyiben ez nem így van, olyankor azzal is próbálkozhatunk, hogy a változókat
egymás között összecseréljük, ezáltal szimmetrizálunk.
A három változót tartalmazó feladatok esetén még inkább elképzelhetetlen,
hogy egységes feladatmegoldási módszereket adjunk meg. Itt is arra törekszünk,
hogy jól megválasztott változókkal egy két, illetve egy változót tartalmazó feladatot
kapjunk, ezt gyakran egyenletrendszerek által érjük el.

1. Nem folytonos függvények meghatározása

A továbbiakban megoldásra kerülő feladatok esetén a függvényre semmilyen
kikötésünk nincs, csupán az értelmezési tartományra kiszabott feltétel. Ilyenkor
célravezető próbálkozások a harmadik változó, vagy éppen két változó „jó” megvá-
lasztása.
XII.1.1. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
( f x  ) y  ( f y  ) z  ( f z  ) x  f ( )  f ( )  f ( ) , x , , z  ?

z
y
y
x
Megoldás

y
z
z
Ha x  y és x  , akkor ( f y  ) z  ( f z  y ) 2 ( )  f ( )  f (0) 
f

f
z
y
f
 f ( ) 2 ( )  f (0) . Tehát ( )  f ( ) 0 , x z ,  , tehát f állandó függ-
z
y

vény.
XII.1.2. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:


y
( f x  ( f y  z ))  f ( (x  ) y  z ) 2y , x , , z  ?
f
Megoldás
x
Legyen P ( , , ) : (x  ( f y  z ))  f ( (x  ) y  ) z  2 y . Akkor
y
z
f
f

f

x

x
f

,
f
( P x  f (0), (0) x x  f (0)) : ( )  f (0) x . Tehát ( ) a x és ellenőrizhe-
tő, hogy ez valóban megoldás is.
XII.1.3. Melyek azok az f    függvények, amelyekre
:
x
y
f 2 ( )  f 2 ( )  f 2 ( )  f ( ) ( ) ( )  , x , , z  ?
y
f
z
f
y
z
4
x
168