Page 37 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

x
F
Ha most bevezetjük az ( )  f 2 ( ) g 2 ( ) változócserét, akkor az (1) függ-
x

x

x
vényegyenlet így néz ki: F (x  ) y  F ( ) F ( ) (2). Ez egy Cauchy függvény-
y


x
egyenlet, amit a [3]-ban megoldottunk, és a megoldása: F ( ) e 2 x , tehát
ax
x
x
x
f 2 ( ) g 2 ( ) e 2ax (3). Vezessük be a következő változócserét: f ( )  e c ( ) ,
x


ax
x

,
g ( ) e s ( ) , ahol c 2 ( ) s 2 ( ) 1 (4). Ezért tehát c s   1,1  , és mivel

x

x
x

x
x
s ( )   1 c 2 ( ) (5), így a (C) egyenlet alapján:
x

,
y

y
( c x  ) y  c ( ) ( )  1 c 2 ( ) 1 c 2 ( ) , x y (6)
x
c

2
c
c

Ha most ebben az egyenletben x  y , akkor (2 ) 2 ( ) 1, ahol ha t  2x ,

x
x
t
t

2   c ( ) 1
akkor c    ,   (7). Ellenben, ha t  , akkor a (6) alapján
0
t
 2  2

c   0  1 0 adódik. És mivel c , s folytonos függvények, ezért létezik olyan
0
 a a ,  intervallum amelyen c nem negatív, vagyis ( )c x  ,    a a , . És
x
 
mivel c  1,1  , ezért 0 c ( ) 1, így hát létezik olyan   0,  szög, amelyre
a

 2 
a

c ( ) cos .

Igazolni fogjuk, hogy minden n esetén c  a   cos  n (8). Valóban, ha

n 
 2  2
 a  
n  1, akkor c    cos igaz, mert ha a (7) összefüggésben t  , akkor
a
 2  2

a
a
2   c ( ) 1 cos  1 2   a  
c      cos és mivel  nem negatív, ezért c    cos .
 2  2 2 2  2  2
 a  
Feltételezzük tehát, hogy (8) igaz, és bizonyítjuk, hogy c  n 1   cos n 1 is igaz.
 2  2

cos  1

a
a  a  c ( ) 1 2 n 2 
Valóban, a (7)-ben legyen t  , akkor c  1     cos .
2 n  2 n  2 2 2 n 1


Indukcióval igazoljuk k szerint, hogy   esetén c k a   cos k (9). Ha
k
n 

n
 2  2
k  1, akkor éppen a (8) adódik, ami igaz. Feltételezzük, hogy (4) igaz, és bizonyít-
 a  (k  1)
juk, hogy c  (k  1) n   cos n . Ezért, a (6)-ban legyen x ny , akkor azt

 2  2

kapjuk, hogy ((c n  1) ) c ( ) ( )  1 c 2 ( ) 1 c 2 ( ) , y , n (10).

n
y
y

n
y

c
y
y
206