Page 27 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany


x
f


és indukcióval kapjuk, hogy f (x n ) nf (x  1) (n  1) ( ) . Most a (2) alapján
f

f
)



x
kapjuk, hogy (x n  f (1)n nf ( x ) (n  1) ( ) , n , x .
5) A 4)-ben ha x  4x , n  4n és használva a 3)-at azt kapjuk, hogy

n



)

x

f
x

f (4 4 ) 4na  4nf ( 4 ) (4n  1) (4 ) vagyis 4 (x n ) 4na  16nf ( x 
f


f

x
n
f

f
f
x
 (4n  1)4 ( ) , tehát (x n ) na  4 ( x ) (n  1) ( ) amit összegezve a 4)-gyel

x
)
f
azt kapjuk, hogy ( x   f ( ) , x  .

6) Az 5) és 4) alapján azonnal következik, hogy f (x n  f ( )  f (1)n ,
x
)
 n, x .

k
f
x
x
7) Indukcióval bizonyítunk. Feltételezzük, hogy ( ) kf ( ) , k n  . Akkor
x
k
x
n

x
f

ha n  2k , k  felírható, hogy f ( )  f (2 ) 2 ( ) 2 ( ) nf ( ). Ha
x
k
f
x
k

n
pedig n  2k  1, k  , akkor felírható, hogy f ( ) kf (1)  ( f nx k 
n
x

n

)
x
x
x
f

n

k
x

k

f

f
x
x
f ( )  f ( ) 2 ( )  f ( ) kf (1) 2 ( ) , tehát ( ) (2k  1) ( ) nf ( ) .
k
x
f

x
f
n
x

8) Az 5) miatt a 7)-ből következik, hogy ( ) nf ( ), n , x .
 p   p   p  p
x
9) Felírható, hogy pf ( )  ( f px  f q x  qf  x , tehát f  x  x
)




 q   q   q  q
f
x

vagyis ( ) nf ( ) , n  , x .
n
x
10) Most az f folytonosságát használjuk. Legyen most x és r  úgy,
n
x
r
hogy lim r  . Mivel f ( )  ar , ezért a határértékre térve kapjuk, hogy
n n n n

f ( ) ax , x  .
x
Ezzel a feladatot teljesen megoldottuk. Végül levonhatjuk a végső következte-
tésünket, ami az lehet, hogy az NZQR módszer egy különösen hasznos konstruktív
módszer amely jól meghatározott lépések sorozatára épül, és lényegesen kihasználja

az öröklődéses folyamatot az  , , ,  halmazok között, és természetesen az

 -en való érvényességet csak a folytonosság alapján kapja meg.
162