Page 15 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

x

2) Bizonyítani fogjuk, hogy ( ) ax minden x esetén.
f
Ha most a (**)-ban t  1, és   1  , akkor   n  an , vagyis   x  ax
f
f
a
f
minden x esetén.
f
3) Bizonyítani fogjuk, hogy   x  ax minden x esetén.
0
Ha a (*)-ban x   , akkor   0f  f   0  f   0 , ezért   0f  0 . Ha pedig
y
x  és y  t , akkor   0f  f   t  f   t vagyis 0  f   t  f   t , ahonnan

t
f   t   f   t . Ha a (**)-ban t helyett –t értéket veszünk, akkor

f
 f  nt  nf   t   nf   t adódik, és a t  1 értékre kapjuk, hogy   n  a   n ,
f
vagyis   x  ax minden x esetén.
4) Bizonyítani fogjuk, hogy   x  ax minden x esetén.
f
1  1   1  1
Ha a (**)-ban t  , akkor (1) nf   , ahonnan f    a . Ha a (**)-ban

f
n  n   n  n
1  n   1  1 n
most t  , akkor f    nf    na  a , vagyis   x  ax, x esetén.

f
m  m   m  m m
\
5) Bizonyítani fogjuk, hogy   x  ax minden x  esetén.
f
\
Legyen x  és x  úgy, hogy x  . Mivel x  ezért
x
n n n
x
f ( )  ax . Ezért a határértékre térve felírható, hogy lim ( ) limf x  ax , ellenben
n n n n
n x
f
x
az f folytonossága miatt lim ( )f x  f  lim x n   f ( ) , így   x  ax adódik
n
n x
minden x esetén. Tehát bizonyítottuk, hogy a (*) függvényegyenletet csak az
f   x  ax függvény teljesíti, ahol a  f   1 .
VI.1.2. Melyek azok az f   (0, ) folytonos függvények, amelyek teljesítik az
:

x
( f x  ) y  f ( ) ( ) egyenletet, minden , y esetén?
x
f
y
Megoldás
Logaritmáljuk az egyenlet mindkét oldalát a természetes alapú logaritmussal.
g
y
Ekkor ln (x  y ) ln ( ) ln ( ) adódik, és ha g ( ) ln ( ) , akkor
x
f

x
f
f

x

ax
y
x
( g x  ) y  g ( ) g ( ) , tehát ( ) ax , ezért ( )f x  e .
g
x


Megjegyzés
Amennyiben az f   (0, ) feltételt f    feltételre cseréljük, akkor
:

:
egyből nem logaritmálhatjuk a függvényegyenletet, mert a függvényértékek nem
t
pozitívak. Ellenben, ha az egyenletbe az x  y  választást tesszük, azt kapjuk,
2
2
  t  
f
hogy   t   f    0 , vagyis a függvényértékek nem lehetnek negatívak.
  2 

Könnyen belátható, hogy ha létezik olyan y  y amelyre f ( ) 0 , akkor
y
0 0
95