Page 14 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

g
y
e
g
v
én
g
nl
VI. A Cauchy és a Pexider függvényegyenletek
fü
y
etek
e
A f üg gv é ny e g y e nl e t e k e g y i k a l a pe g y e nl e t e a C a uc hy
A függvényegyenletek egyik alapegyenlete a Cauchy
m
a
e
ni

f
üg
gy
függvényegyenlet, ugyanis számos más függvényegyenlet
ug
f

t
t
s
e
á
e
üggv
nl
e

z
é
,
s
e
y
ny
gy
á
é
m
os
gv
e
nl
s
ny
visszavezethető erre. Erről bővebben ebben és a következő
v i s s z a v e z e t he t ő e r r e . E r r ő l bőv e bbe n
nk
. T
l
a
j
n í
é
y
be
unk
u
fejezetekben írunk. Tulajdonképpen négy függvényegyenlet-
do
r
ppe

n né
g
ó,
v
v
a
v

i
t
k
r ről van szó, de ezek közül az úgynevezett additív függvény-

z
é
í
ne
n
e
ől
e

t
e
n
z
k
a
s

t
gv
z
f
de
a

z
dd
ül
e
öz
úgy
üg
egyenlet a legfontosabb. Ezt alapegyenletnek is nevezzük, és
e g y e nl e t a l e g f ont o s a bb. E z t a l a pe g y e nl e t n e k i s ne v e z z ük , é s
a következő: határozzuk meg azokat az f    folyto-

uk
g

a
z
öv
e
t
z

oz
e
z

e
:
a
ha

t

z
a
r
á
a
m
t
ő:
k
k
ok
nos függvényeket, amelyek teljesítik a következő függvény-
nos f üg g v é n y e k e t , a m e l y e k t e l j e s í t i k a k ö v e t k e z ő f
x
(x  )

f
egyenlete: f (x  y ) y  (x )  f f ( ) ,  , x y  esetén (*).
f
)
( )  (
y
y
f

I Indulásból megjegyezzük, hogy csak folytonos függvények megkeresésével foglal-
y

f
s
l
üg
f
k
a
a
og
c
m
y
g
e
r
s
e
ol
z
e

gk
e
m

t
e
j
onos
e
ból
g
é
v
e
s
hog
ny

y
gvé
ndul
f
l
,
k
á
é
z
s
ü
k
e
é
v
k
ny
e
s
s
e
z
e
e
s
m

g
e
kozunk, ugyanis a nem folytonos függvények megkeresése messzemenően megha-
h
m
e
m
n
nőe
e
e
r
s
e
m
gk
é

a
C
e
t
g
t
e
hy
e
m
nl

á
1821
uc

r
y
ladja az elemi szintet. Noha a függvényegyenletet Cauchy már 1821-ben megoldot-
e
os
i
m
s
a
m

nos
á

z
z
g
m
,
e
á
i
s
s
g
ho
é
dá
l
g
ha

t
ol

gy
s
t
a
s
t
pv
a

r
j
,
uk
ot
ot
é
t
k
l
na
ót
a

na
t
,
a

ta, és azóta számos megoldása látott napvilágot, mégis hasznosnak tartjuk, hogy
z
á
z

s
ni
e

ü
a
z
á
s

s
á
m

m
os
e
c
f

t
k
a
i
hn

g
bemutassuk egy konstruktív megoldását, ugyanis ez a technika számos más függ-
s
á
t
y
,
ug
a
vényegyenlet megoldásánál alkalmazható
t
t
á
de
nos
k

e
e

P
a
t
k
l

á
xi
a
s
A Cauchy függvényegyenlet egyfajta általánosítását a Pexider egyenletek ké-
á
e
t
e
á
y
nl

e
í
g
r
l
l
k
nl
e
e
xi
k
t
ne
e
ggv
ny
é
z
t
e

.
z
nl
A
l
ő
i
z
öv

a
k
k
e
e
ő
gy
y
t
e
g
P
e
ő:

e
őz
e
l
e
f
m
f

e
ü
pezik. Az előző egyenletnek megfelelő Pexider függvényegyenlet a következő:
r
e
pe
e

g
d

határozzuk meg azokat a folytonos , , :  
g
f
h
  függvényeket, amelyekre telje-
f
)
y
x

sül a következő egyenlet: (x  ) ) y  g ( ) h( ( ) , x y esetén. Ezzel a függ-
y
y

x
)
h
(
g(
f
x
,
,
vényegyenlettel és társaival, a fejezet második felében foglalkozunk.
v é ny e gy e nl e t t e l é s t á r s a i v a l , a f e j e z e t m á s od i k f e l é be n f og l a l k oz unk .
1. A Cauchy függvényegyenletek
n
k
ggvé
e
t
l
h
y f
ü
gye
ye
C
e
n
au
A
c
z
a
őbe
í
j
hy
e
z
d
, a
e
t
u
e
nl
be
t
á
a
e
a
c

ő
ye
n
Kezdjük a Cauchy alapegyenlet megoldásával, amiről a bevezetőben is írtunk:
l
a
e
p
i
g
e
i
r
m
s
a
a
ük
ol
dá
C
m
s

t
unk
K
r
v
g
l
l
v
VI.1.1. Határozzuk meg azokat az f    folytonos függvényeket, amelyek
ono
üg
k
:
v
t
, a
f
ol
s
nye
e
l
m
e
t
e
y
k
f
g
é
y
f

x

(
,

f
teljesítik a következő egyenletet (x  ) ) y  (x )  f f ( ) , x y  ( ) esetén.

y
f
y
( )  (
)
y
f
x
Megoldás
g
a
í
t
ódon
ó
r

e
t
dá
k
m
m
A Cauchy függvényegyenlet megoldása konstruktív módon jól meghatározott
r

t
l
m

v
ha
á
j
t
s
e
ol
oz
g
ot
ons
uk
lépésekben történi, ezek a következők:
1) A (*) egyenletben legyen x  y  t , e k k or k a pj uk , hog y (2 ) 
y t , ekkor kapjuk, hogy f
t
x
s

t
t

t
 f ( )  f ( ) 2 ( ). Ha most az x  és y  2t értékeket adjuk, akkor
t
é
f
z
.
a
t
j
t

a

a
t
f (3 )  f ( )  f (2 ) 3 ( ) . Ezek alapján kialakul az a sejtés, hogy ( ) nf ( )
a
n
a
á
a
E
i
t
s
k
l
é
t
k
e


p

,
ul
hog
t

e
l

f

f
s
n

j
t
y
z
k
be

t
ahol n . Ezt indukcióval bizonyíthatjuk is. Valóban, ha a (*) egyenletbe x 
b

l
l
i
óba
a
ha
c

n,
óv
i
z

ha
i
t
j
uk
s
V
a
ony
t
.
í
t

*)
(
E
e
e
nl
y
e
g
z
a
i

t

nduk
n
t

nf t 
n

és y nt , akkor f f t ntt nt   f f   t t  f f nt t f f t    n  1 f f t t
f
     t
n     . Tehát

t
f ( ) nf ( ) , n  és t  . (**)
n

t
94