Page 6 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

A problémamegoldás a céltudatos gondolkodásnak
legkülönlegesebb és legjellegzetesebb fajtája.

Williams James

I. RÉSZ.
ÁLTALÁNOS BIZONYÍTÁSI MÓDSZEREK

Ebben a részben elsőként a probléma fogalmával ismerkedhetünk meg, továbbá megtud-
hatjuk, hogy a problémák két típusúak: meghatározó és bizonyító problémák. Mivel e két
problématípus átfogalmazható egymásba, bizonyítás helyett gyakran megoldás (meghatá-
rozás) is érthető, és fordítva.
A gondolkodás irányítottsága szerint kitérünk a konvergens és a divergens típusú gon-
dolkodásra.
A következő fejezetekben megismerkedhetünk néhány általános bizonyítási (megoldási)
módszerrel. Először is az úgynevezett deduktív bizonyítási módszerekkel foglalkozunk. A
dedukció az egzakt tudományokra jellemző módszer, ugyanis az úgynevezett axiómákra
(alapigazságokra) épül. A deduktív bizonyítás az axiómákból indul ki, a formális vagy alkal-
mazott logika jól meghatározott törvényeit alkalmazva vezet el az új ismeretekhez.
A dedukció során alkalmazott logikai szabályok és módszerek függvényében alakulnak
ki az úgynevezett direkt és indirekt bizonyítási módszerek.
Mivel valamennyi logikai sémára szerkeszthetnénk általános bizonyítási módszert, ezek
száma tetszőlegesen nagy lenne. Ezért csak olyan általános bizonyítási (megoldási) módsze-
rekre térek ki, amelyek az aritmetikai feladatok megoldása szempontjából is különösen fon-
tosak.
A direkt bizonyítási módszerek keretén belül megismerkedünk az egymással ellentétes
irányú, de egymással szoros összefüggésben levő úgynevezett szintetikus (progresszív) és
analitikus (regresszív) bizonyítási módszerekkel. Látni fogjuk, hogy a két módszer az egymást
kiegészítő analízis és szintézis gondolkodási műveleteken alapul. Ezért is nevezik együttesen
analizáló-szintetizáló tevékenységnek.
Az indirekt bizonyítási módszerek keretén belül megismerkedünk a leggyakrabban hasz-
nált módszerrel, a lehetetlenre való visszavezetés (reductio ad absudum) módszerével, majd
megismerhetjük ennek egy sajátos, de szintén általános esetét, amit az aritmetikában nagy
előszeretettel használnak, az úgynevezett skatulyaelvet.
Ezután megismerkedhetünk az induktív bizonyításokkal, továbbá az induktív és a
deduktív bizonyítások kapcsolatával is. Megjegyezzük azt is, hogy a teljes (matematikai)
indukció módszere neve ellenére, szintén deduktív bizonyítási módszer.
Végül bemutatunk néhány gyakran használt általános bizonyítási módszert, például a
konstruktív módszert, az algoritmikus módszert, az ellenpéldával történő cáfolás módszerét, az
invariancia elvét és a logikai táblázat módszerét. Természetesen, minden bizonyítási módszert,
az illető módszer jellemző vonásainak a leírása mellett megoldott feladatok segítségével
szemléltetünk.
A bemutatott feladatok segítségével meggyőződhetünk arról, hogy leggyakrabban úgyne-
vezett kombinált bizonyítási (megoldási) módszereket alkalmazunk.

6