Page 37 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

8
D 13 C
3 3
8 5
3
8 5 3 8
5 3 M 5
5
5
5 8
3 5 A 13 B
8
8. ábra 9. ábra

Tekintsük a 8. ábrán látható 8 egység oldalhosszúságú négyzetet, amelyet a szemléltetett
módon daraboltunk fel. Ezekből a darabokból rakjuk ki a 9. ábra téglalapját. Könnyen leolvas-
ható, hogy AB = 13 egység és BC = 5 egység.
Tehát úgy tűnik, hogy a 8. ábra négyzetlapját átdaraboltuk a 9. ábra téglalapjába.
Vajon tényleg igaz? Nézzünk csak utána!


A négyzet területe: T : 8 8 64 , míg a téglalap területe: T : 5 13 65 . Honnan




1 2
származik a 65 – 64 = 1 négyzetegységnyi eltérés?
Ha esetleg milliméteres papíron, pontos mérésekkel rekonstruáljuk az előbbi átdarabolást
és ha jól figyelünk, akkor észrevehető, hogy a BD átló mentén az alakzatok nem illeszkednek
tökéletesen, pontosabban egy kis rés marad. Számolásokkal megmutatjuk, hogy az a kis rés
éppen 1 négyzetegység (és mivel elég kicsi, szabad szemmel nehezen érzékelhető).
2
2
2
2
2
2
2
Mivel BD  5  13  194, DM  3  8  73 és MB  2  5  29 , ezért
2
2
DM  MB  29  73 .
Ha ténylegesen DM  MB  DB lenne, akkor 194  29  73 lenne, vagyis


194 102 2 29 73  2117  46  2117  2116 , ami lehetetlen.

Tehát valójában a 9. ábra téglalapja nem illeszthető össze hézagmentesen a 8. ábra négy-
zetlapjának darabjaiból.
Az ilyen, hibás átdarabolások során nem csak úgymond hiány állhat elő, hanem éppen
fedés is. Például, ha a 8. ábrán levő 3, 4, 8 mérőszámok helyett rendre az 5, 8, 13 mérő-

számokat vesszük, akkor a négyzet területe T : 13 13 169 , míg a téglalap területe


1
T : (13 8) 8 168 lesz, vagyis az átrendezés után nem hézag marad, hanem a darabok fedni




2
fogják egymást. Ennek bizonyítása az előbbiek mintájára is történhet, és az érdeklődő Olvasó-
ra bízzuk.
Ezek után természetesen felmerül a kérdés, hogy mi az átdarabolhatóság helyességének a
feltétele?
A következő tétel értelmében a Pitagorasz-tétel bizonyítására használt átdarabolhatóság
lehetősége biztosítva van, de a tétel az átdarabolhatóság hogyanjára nem ad választ.
Nyilvánvaló, hogy az átdarabolt alakzatok területei egyenlők. Vajon igaz-e ennek a fordí-
tottja is? Erre a választ (szinte egy időben) Bolyai Farkas (1832) és Gerwin (1833) adták
meg, de egyes források szerint a tétel első felfedezője Wallace, angol matematikus volt, aki
már 1807-ben közölte a következő eredményt:
Tétel. Az egyenlő területű sokszöglapok átdarabolhatók egymásba.
Erről részletesebben az ML 6/1994-ben jelzet szakirodalomban is olvashatunk.
Az átdarabolást az ún. kirakós játékok esetén is használjuk. Ennek egy meggyőző példája
a TANGRAM nevű ősrégi kínai játék.
219