Page 36 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

2. bizonyítás
b c b c
1 4 6 3 a
c b b b
a a
4
5
1
a a a
b c c 7 c
2 3 2
c b b c
3. ábra 4. ábra
Ha az 1-es, 2-es, 3-as és 4-es kongruens, és a, b, c méretekkel rendelkező derékszög-
lapokat a 3. ábra szerint illesztjük össze, akkor belátható, hogy az 5-ös négyzetlapot zárjuk
2
közre, amelynek a területe a . Ha azonban az előbbi négy háromszöglapot a 4. ábra szerint
2
2
illesztjük össze és kiegészítjük a 6-os és 7-es, b , illetve c területű négyzetlapokkal, akkor
ugyanakkora négyzetlapot kapunk, mint a 3 ábrán. Így az 5-ös, a 6-os, illetve a 7-es alakzatok
2
2
2
területei alapján a  b  c adódik.
3. bizonyítás

4 3 a/2 a/2
b a/2 a/2 a/2
a/2 b b
a
b b b
a/2 a/2 b
a/2 a/2
b 1 2 a/2 a/2
(c+b)/2 (c–b)/2 a
5. ábra 6. ábra 7. ábra

Tekintsünk egy b oldalú négyzetlapot (az 5. ábrát) és egy c oldalú négyzetlapot (a 6.
ábrát), ahol c  b , és amelyet feldaraboltunk az 1-es, 2-es, 3-as és 4-es kongruens négyszögla-
pokra. Ha most ezeket szétválasztjuk a 7. ábra alapján, közepén éppen egy b oldalú négyzet-
lapnak marad hely, ahova be is illesztjük az 5. ábra négyzetlapját. Mivel az 5. és 6. ábra négy-
zetlapjaiból kiraktuk a 7. ábra négyzetlapját, ezért a megfelelő területek egyenlőségéből
2
2
2
b  c  a adódik.
Megjegyzés. Az előző bizonyítás segítségével, a matematikai indukció módszerét hasz-
nálva könnyen bebizonyítható, hogy n  1 darab tetszőleges négyzetlap feldarabolható úgy,
hogy a darabokból egyetlen négyzetlapot lehessen kirakni. A 3. bizonyítás az n = 2 esetre ad
megoldást.
A bizonyítottak kapcsán, azaz ezek helyességét illetően, nem sok kételyünk merülhet fel,
hiszen Pitagorasz tétele a matematika egyik alaptétele. Ha azonban jobban elgondolkodunk
az átdarabolás folyamatán és a megvalósítás lehetőségén, akkor máris felmerülhet a következő
kérdés: vajon a darabokból hézagmentesen és fedés nélkül tényleg összerakhatók-e az illető
alakzatok?
Mielőtt erre a kérdésre válaszolnánk, nézzünk meg egy újabb átdarabolást, amely nagyon
meggyőzően alátámasztja, hogy a fölmerült kételyünk teljesen megalapozott.

218