Page 35 - Tuzson - Hogyan oldjunk - mutatvany

20. Hihető-e mindig, amit látunk?

Ebben a paragrafusban nem az úgynevezett optikai csalódásról
írunk, noha ezek is rendkívül érdekfeszítőek, hanem jóval mélyebb
matematikai tartalommal töltött esetekről.
Az egyik legegyszerűbb ilyen példát az a, b illetve c ábrán látható
rajzok szolgáltatják. Mindhárom esetben a függőlegesen rajzolt szaka-
szok hossza ugyanannyi, de mivel a b illetve c ábra esetén a szakasz
végpontjain levő nyilak fordítva vannak elhelyezve, ezért úgy tűnik,
hogy a b ábrán látható szakasz hosszabb az a ábrán látható szakasznál,
a c ábra szakasza pedig hosszabb a b ábrán látható szakasznál is, pedig
hosszúságuk teljesen egyforma. Itt pusztán optikai illúzióról van szó.
Míg az optikai illúziók esetén csupán az ábrán látható alakzatok egymáshoz való
viszonya kelti az ellentmondás látszatát, addig a továbbiakban bemutatott esetekben, a látszat
okozta hamis konklúziók miatt vélünk ellentmondást felfedezni. Ez utóbbi esetben a helyes
matematikai bizonyítások alapján választ is kapunk a látszatellentmondásra.

Átdarabolási paradoxonok?
A matematikában gyakran használunk olyan eljárást, amelyet így végzünk el: ollóval
szétvágunk egy papírból készült sokszöglapot és a darabokból egy másikat illesztünk össze.
Ezt a műveletet átdarabolásnak nevezzük. Egyszerűen fogalmazva: két sokszöglapot egy-
másba átdarabolhatónak nevezünk, ha az egyik sokszöglapot véges sok részre osztva (amelyek
maguk is sokszöglapok), ezek teljes felhasználásával, hézagmentesen és fedés nélkül kirak-
hatjuk a másik sokszöglapot.
A sík egy részének ilyen egyrétű, hézagmentes és fedés nélküli lefedését parkettázásnak
nevezik.
Az átdarabolás segítségével nagyon szemléletesen bizonyítható Pitagorasz tétele is. Az
ismert több száz bizonyítás közül hármat mutatunk be.
1. bizonyítás
a
b c–b
4
c b 5
4 b
1
a 5 a c
3 2 b
2
a
c b
1. ábra 2. ábra
Ha az 1. ábrán látható a, b, c méretű kongruens 1-es, 2-es, 3-as, 4-es derékszögű három-
szöglapot a szemléltetett módon összeillesztjük, akkor könnyen látható, hogy az 5-ös négy-
zetet zárjuk közre, amelynek oldalhossza (c–b)-vel egyenlő. A helyére tehát illesszünk be egy
ekkora négyzetlapot.
Most az 1. ábra öt alakzatát rendezzük át, a 2. ábra szerint. Ekkor, mivel az 1. ábra nagy
2 2 2
négyzetének a területe a és a 2. ábra két különálló négyzetének az összterülete b  c , máris
2
2
2
bebizonyítottuk, hogy a  b  c .
217