Page 211 - vol2

24. Függvényösszetétel mátrix hatványozással

Ebben a paragrafusban, a másodrendű mátrix hatványozásának
egy különös és érdekes alkalmazásáról írunk.
+
ax b  d 
Tekintsük az ( )f x = , f : \ −  →  elsőfokú racionális
+
cx d  a 
függvényt (homografikus függvény). Értelmezzük a következő sorozatot:
f = , f = f f , f = f f f ,…, f = f f ... f . Rekurzióval
f
1
n
3
2
−
n szer
értelmezve tehát f = n f f n − 1 = f n − 1 f (1).
x
Célul tűzzük ki az f n ( ) kiszámolását, az előbbi törtfüggvény
esetén.
A feladat megoldása érdekében induljunk ki a következőből:

+
ax b
+
2
+
+
af ( ) b a cx d + b (a + bc )x b (a d )
x
+
f ( ) = ( f f )( )x = = = (2)
x
+
2
2
+
+
+
x
cf ( ) d ax b ( c a d )x d + bc
c + d
+
cx d
+
+
ax b a x b
x
x
Ennek alapján rendre jelöljük f ( ) = f ( ) = = 1 1 ,
1
+
+
cx d c x d 1
1
+
+
a x b a x b
x
f ( ) = 2 2 és általában f ( ) = n n . Ezért, ha
x
2
+
+
c x d 2 n c x d n
n
2
+
a x b
f n+ 1 ( ) = c n n + + 1 1 x d n n + + 1 1 (3) akkor mivel f n+ 1 ( ) = x ( f n f )( )x =
x
+
+
ax b + b
a
+
x
+
)
n
= f ( ( )f x = a f ( ) b n = n cx d n = (aa + cb n )x + (ba + db n ) (4),
n
n
n
+
+
ax b
c f ( ) d n c n cx d + d n (ac + cd n )x + (bc + dd n )
x
n
n
n
+
ezért a (3) és (4) azonosításából a következő rekurziókkal értelmezett
c
b
a n , , ,d sorozatokat kapjuk:
n
n
n

211