Page 207 - vol2

nyílvánvalóan x − 2 n ky = n 2 1, vagyis ( ,x y megoldása a Pell egyenletnek.
)
n
n
De
n
x +
x n + 1 + y n + 1 k = (x + y 0 ) k n+ 1 = (x + y 0 k ) (x + y 0 ) k = ( n y n k ) (x + y 0 ) k
0
0
0
0
x =  x x + ky y
, ahonnan azt kapjuk, hogy  n+ 1 0 n 0 n (8). És ezek után, már
 y n+ 1 = y x + 0 n x y
0 n
visszakaptuk a tárgyalt rekurencia egyenletrendszert, így a Pell egyenletre
 x   x ky  x 
=
mátrixokkal végzett megoldást is adhatunk:  n   0 0  n− 1 
 y n   y 0 x 0  y n− 1 
n
 x   x ky   x 
=
vagyis  n   0 0   0  . Felírjuk most a mátrix karakterisztikus
 y n   y 0 x 0   y 0 
=
egyenletét, ahonnan r − 2x r + 1 0, így a megoldások
2
0
1
x =  (x + y ) k n + 1 + (x − y ) k n + 1  és
n
2  0 0 0 0 
1
y =  (x + y 0 ) k n + 1 − (x − y 0 ) k n + 1  . Megjegyezzük, hogy az
0
0
n
2 k  
előbbiekben nem bizonyítottunk semmit sem a legkisebb pozitív
megoldás létezéséről, sem arról, hogy a Pell egyenlet összes egész
megoldását valóban a (8) adja meg. Ennek a bizonyítása nem is olyan
egyszerű.
x
Megjegyzés: A Pell egyenlet megoldásainak n arányai tulajdonképpen a
y n
k megközelítő értékei, sőt mi több, felírható, hogy
x n − k = 1  1  1 → 0 vagy másként:
y n y n (x + y n ) k y 2 n k y 2 n
n

 x − y k  n+ 1
1+  0 0 
x (x + y ) k n + 1 + (x − y ) k n + 1   x + y k  
lim n = k lim 0 0 0 0 = k lim 0 0 = k
n→ y n n→ (x + y ) k n + 1 − (x − y ) k n + 1 n→  x − y k  n+ 1
0
0
0
0
1−  0 0 
 
 x + y 0 k 
0

207