Page 206 - vol2

−
 x  3  n − 1 (2 3 ) 2 3 n − 1  1  
n
n
ahonnan az  n  =  −     alapján azt kapjuk, hogy
 y n   − 2 3 n 1 3 n − 1 (2 3 )   + n  2 
n
n−

x = n 3 (3 2 ) és y = 2 3 n− 1 (3 n .
+
+
1
n
)
n
 2x =  3x + y
3. feladat: Igazoljuk, hogy a  n n − 1 n − 1 rekurziók által
  2y n+ 1 = − x + 3y n
n
,
értelmezett x y sorozatoknak ugyanaz a periódusa! Számítsuk is ki ezt!
n
n
Megoldás: A rekurencia egyenletrendszer így is írható:
 3 1   
 x = n x n − 1 + y n − 1  x = cos x  n − 1 + sin y  n − 1
n
 2 2  6 6
 , vagyis  . Így hát
 1 3  y = − sin  x  + cos  y 
 y n+ 1 = − 2 x + 2 y n   n+ 1 6 n 6 n
n

   
 x  n  x   cos 6 sin 6 
0
n
  = A   , ahol A =   , és az előző részekben láttuk,
 y n   y 0     
 − sin cos 
 6 6 
n   n  
 cos sin 
hogy A =  n 6 6  , ezért azt kapjuk, hogy
 n  n  
 − sin cos 
 6 6 
n  n  n  n 
x = cos x  + sin y  és x = − sin x  + cos y  , ahonnan
n
6 0 6 0 n 6 0 6 0
látható, hogy x n + 12 = x n , y n + 12 = y , tehát a főperiódus T = 12.
n
A rekurencia egyenlet rendszerek szoros összefüggésben vannak
az ú.n. Pell egyenlettel, vagyis az x − 2 ky = 2 1 egyenlet egész számú
megoldásával, ahol k négyzetszámmentes természetes szám.
Észrevehető, hogy ha ( ,x y az adott Pell egyenlet legkisebb
)
0
0
pozitív egész megoldása, akkor x − 0 2 ky = 0 2 1, vagyis
(x + y 0 k )(x − y 0 k ) 1 akkor ha ezt n-edik hatványra emeljük, és
=
0
0
használjuk a Newton binomiális képletet, miszerint
(x + y 0 ) k n = x + y n k (6) és (x − y 0 ) k n = x − y n k (7), akkor
0
n
n
0

206