Page 205 - vol1

– Nem tudom, hány tojás volt a kosárban, ellenben tudom, hogy ha ezeket
akár 2-esével, 3-asával, 4-esével, 5-ösével vagy 6-osával venném ki a kosárból,
mindig 1 tojás maradna, de ha 7-esével venném ki, akkor egy sem maradna a
kosárban.
Szegény járókelő bizony volt mit töprengjen, amíg kiszámította, hogy hány
tojást is kell kifizetnie.
Próbáljatok segíteni a járókelőnek!
Megoldás
Legyen x a kosárban levő tojások száma. Erre egy időben igaz, hogy: 2 | x − 1
; 3| x − ; 4 | x − ; 5| x − ; 6 | x − és 7 | x .
1
1
1
1
Azonban a 2, 3, 4, 5, 6, 7 számok páronként nem mind relatív prímek, így
nem alkalmazható azonnal a kínai maradéktétel.
Mivel a 2, 3, 4, 5, 6 számok mindegyike osztja az (x − -et, ezért a 3.
1)
segédtétel alapján
60 = [2, 3, 4, 5, 6]| x − 1.
Tehát ezúttal olyan x-et keresünk, amelyre
60 | x − 1 és 7 | x ,
ahol ezúttal a 60 és a 7 relatív prím, tehát alkalmazható a kínai maradéktétel
0
(még akkor is, ha c = , lásd a tétel utáni megjegyzést).
2
Sorra írjuk fel a lépéseket:
1) m = 60 és m = ; c = 1 és c = .
7
0
1 2 1 2
m m m m
2) M = 1 2 = 7 és M = 1 2 = 60.
2
1
m 11 m 2
3) Képezzük az M y m z c− i i = i diofantoszi egyenleteket:
7y − 60z = 1, illetve 60y − 7z = 0 ,
amelyeknek egy-egy partikuláris megoldása:
y = 43, z = 5, illetve y = 7, z = 60.
1 1 2 2
4) A kitűzött feladat egy partikuláris megoldása:
+
+
x = x + mm t = 721 420t = 420(t + 1) 301.
1
2
0

Tehát x = 420n+ 301, ahol n , vagyis x 301, 721, 1141, ... .
Mivel nem valószínű, hogy a kofa elbírt 721 tojást (vagy többet), ezért
minden bizonnyal, a kosárban 301 tojás lehetett.
Általánosítási lehetőségek kapcsán
Az érdeklődő Olvasóban természetesen felmerülhet a kérdés, hogy mit
állíthatunk abban az esetben, ha a kínai maradéktételben az m ,m ,..,m szám
1 2 k
nem relatív prím?

205