Page 203 - vol1

Megjegyzés. A feladatra bemutatott három megoldás alapján könnyen
eldönthető, hogy k = 2 esetén a kínai maradéktétel nem rövidebb, mint a 2.
megoldásnál az ax + by = c típusú egyenlet megoldása. Mi több, k = 2 esetén
=
kényelmesebb ez utóbbit használni, mert ekkor az ( ,m m 2 ) d  1 esetben is
1
választ tudunk adni.
3. feladat (kínai feladat, Szung Csi oldotta meg először kb. 350 körül)
Melyik az a szám, amelyet 3-mal, 5-tel, illetve 7-tel osztva maradékul 2-t, 3-at,
illetve 2-t kapunk?

Megoldás
Olyan x számot keresünk, amelyre egy időben igaz, hogy:
3| x − 2 ; 5| x − 3 ; 7 | x − .
2
1) m = 3, m = 5, m = páronként relatív prím, c = 2, c = 5, c = .
2
7
1 2 3 1 2 3
m m m m m m m m m
2) M = 1 2 3 = 35 ; M = 1 2 3 = 21 ; M = 1 2 3 = 15 .
1
2
3
m m m
1 2 3
3) Képezzük az M y m z c− = egyenleteket minden 1, 2, 3i  esetén:
i i i
35y − 2z = 2 , illetve 21y − 5z = 3 , illetve 15y − 7z = 2,
amelyeknek egy-egy partikuláris megoldása:
y = 1, z = 11, illetve y = 3, z = 12 , illetve y = 2, z = 4.
1 1 2 2 3 3
4) A feladat egy partikuláris megoldása:
+
=
x = x + mm m t = 128 105t = 105t + 105 23 105(t + 1) 23 ,
+
+
2
3
1
0
vagyis x = 105n+ 23 , ahol n .
4. feladat
Melyek azok a négyjegyű természetes számok, amelyeket ha rendre 5-tel, 6-tal,
7-tel, 11-gyel osztunk, rendre a 4, 5, 6, 10 maradékot kapjuk?
Megoldás
Olyan x  * számokat keresünk, amelyekre
5| x − 4 ; 6 | x − 5 ; 7 | x − 6 és 11| x − 10 .

A feladat a kínai maradéktétellel is megoldható (ezt az érdeklődő Olvasóra
bízzuk), azonban érdemes a feladat sajátosságára felfigyelni, és ezt kiaknázni.
Az oszthatósági feltétel alapján:

203