Page 204 - vol1

=
=
=
x − 4 5 ; x − 5 6 ; x − 6 7t 3 és x − 10 11t 4 ( , , ,t  * ).
=
t
t
t
t
t
1
3
4
2
2
1
=
=
=
Ezért x + 1 5(t + 1); x + 1 6(t + 1); x + 1 7(t + 1) és x + 1 11(t + , vagyis
=
1)
1 2 3 4
x + 1 osztható az 5, 6, 7, 11 páronként relatív prím számokkal, ezért a 3.
segédtétel következménye (ami a kínai maradéktétel sajátos esete) alapján
=
igaz, hogy 5 6 7 11   = 2130 | x + , vagyis x+ 1 2310t , illetve
1
x = 2310t − 1(t  * ).

Mivel csak négyjegyű számokat keresünk, így csak a t  1, 2, 3, 4 értékek
felelnek meg, amelyekre

x 2309, 4619, 6929, 9239 .
5. feladat
Egy matematikust megkérdeztek, hogy mikor született, ő a következőket
válaszolta: „Ha születési évszámomat rendre 5-tel, 7-tel, 9-cel és 11-gyel osztod
el, rendre a 3, 4, 5 és 6 maradékot kapod”. Mikor született a matematikus?
Megoldás
Olyan x számot keresünk, amelyre
5| x − 3; 7 | x − 4; 9 | x − 5 és 11| x −
6.
A feladat ezúttal is megoldható a kínai maradéktétel segítségével, de
ezúttal is a feladat egy sajátosságára figyelünk fel.
Az oszthatósági feltételek alapján:
=
x − 3 5 ; x − 4 7 ; x − 5 9t 3 és x − 6 11t 4 ( , , ,t  * ).
=
=
=
t
t
t
t
t
4
1
1
2
3
2
=
=
=
Ezért 2x − 1 5(2t + 1) ; 2x − 1 7(2t + 1) ; 2x− 1 9(2t + 1) és 2x− 1 11(2t + ,
=
1)
1 2 3 4
vagyis 2x − 1 osztható az 5, 7, 9 és 11 páronként relatív prímszámok
mindegyikével, ezért a 3. segédtétel következménye alapján


3465 = 5 7 9 11| 2x − ,

1

ami azt jelenti, hogy 2x − = 3465(2t + 1) = 2 3465t + 3465 , ahonnan.
1
x = 3465n + 1733, n . Mivel születési évszámról van szó, ezért csak n = 0 felel
meg; a matematikus 1733-ban született.
6. feladat (Hindu feladat, Brahmagupta, 588-660?, művéből származik.)
Egy kofa tojásokat vitt a piacra eladni. Egy figyelmetlen járókelő felborította
a tojásokkal teli kosarat. Illendő viselkedéssel azonnal meg is kérdezte, hogy
hány tojás volt a kosárban, mert kifizeti. A kofa ezt válaszolta:

204