Page 5 - Tippek 11-12 o





2
2
2
2
n

L  limsin  n  n n  n  limsin  ( n   ) n 
n n
 n  2  

2
 limsin     limsin    1.
n 2 n  2 

 n  n n 
A következő feladatok megoldásában az összefüggések felfogása, a
lényegkiemelés és rendezés, összehasonlítás és kiegészítés dominál. Szük-
ség van ugyanakkor a logikai egymásutániság megállapítására és a tárgy
többoldalú felfogására is. Esetenként analógiát, indukciót és általánosítást
és analízist, valamint szintézist is használunk.
2. példa

2
Számítsuk ki az L  lim  n  n határértéket, ha   x az x valós szám
n
törtrészét jelenti.
Megoldás
Minden valós x szám esetén x      x , ahol   x az x valós szám
x

2
egész részét jelenti. Tehát   x     x , és ezért x   n  n 
x
n

2
2
2
2
2
n
1,
n
n
 n    n  n . De ekkor n  n  n   (n  1)  
 

2
2
n
ha n  , ezért  n  n  , tehát x  n  n   n , és
2
n
  n 2
n  n  n
n 1 1
mivel lim  , ezért L  .
2
n n   n 2 2
n
3. példa
1 1 1
Ha b    ... , számítsuk ki az L  limb határértéket.
n n

n  1 n  2 n n n
Megoldás
Tekintsük az  : k  1,k    , ( ) lnf x  x függvényt. Tudjuk, hogy
f
a Lagrange-tétel értelmében létezik olyan c   ,k k   1 szám amelyre
k
1 1 1

ln(k  1) ln k  , ahonnan felírható, hogy  ln(k  1) lnk  .

c k k  1 k
21