Page 76 - Tuzson - Teszteld magad A5-2019

3x 2 1 3x 2 1 3x 2
21. Az ( )f x = függvény páros, ezért I =  dx = 2  dx =
+
+
+
1 x 6 − 1 1 x 6 0 1 x 6
3
x
2  0 1 d 3 ( ) = 2arctgx 3 1 0 =  , ezért a helyes válasz a (B).
(x +
2
1)
22. A Lagrange-féle középérték tételt alkalmazzuk az  ,n n+  1 intervallu-
x
mon az ( )F x = arctg függvényre, miszerint létezik olyan
x + 1
−
c  n  ,n n +  1 amelyre (F n + 1) F ( ) =  n n+ 1 arctg x + x 1 dx arctg c + c n 1 . És
=
n
mivel limc = + , ezért n
n→ n

lim  n+ 1 arctg x dx = limarctg c n = arctg 1=  ,
n→ n x + 1 n→ c + n 1 4

ezért a helyes válasz a (D).
23. Parciálisan integrálva kapjuk, hogy
'
   e x sinnxdx =    e x   − cosnx   dx = − e x cosnx  + 1    e x cosnxdx = 1 a .

n
2 2  n  n 2 n 2 n
  
Az a = − e  cosn + e 2 cosn +   e x cosnxdx sorozat korlátos, mert
n
2 2
 
x
a  e + e +   e dx minden n  esetén, ezért

1
2
n
2
lim    e x sin nxdx = lim a = 1 0, így a helyes válasz az (A).
n→ n→ n n
2
1 1 1


2n
24. A fogótétel szerint 0   x e dx e x dx = e így
2n x
0 0 2n + 1
1

lim x e dx = , ezért a helyes válasz az (A).
2n x
0
n→
0
76