Page 40 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

XIX. Függvényegyenlőtlenségek megoldása

Legtöbben, az egyenlőtlenségek hallatára nem gondolnak semmi nehéz vagy
komoly dologra, hiszen legtöbb esetben az egyenlőségek (egyenletek) mintájára
kezeljük őket, persze figyelembe veszünk néhány sajátos tulajdonságot is, mint
például, hogy míg az egyenletek mindkét oldalát megszorozva ugyanazzal a nullától
különböző számmal, az egyenlőség továbbra is igaz marad, az egyenlőtlenségek
esetén ha negatív számmal szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik. És még
néhány hasonló vagy különböző kivétel.
A függvényegyenlőtlenségek megoldása esetén ellenben jóval komolyabb ki-
hívással állunk szembe, ugyanis itt a függvények az ismeretlenek, és nem is olyan
egyszerű függvény egyenletről függvény egyenlőtlenségre térni át.
Nézzünk csak egy egyszerű összehasonlítást: az előző fejezetekben sokat fog-
y
y
x
 x   f ( )  f ( )
lalkoztunk az f    úgynevezett Jensen egyenlettel. Azt is bi-
 2  2
f
zonyítottuk, hogy ez az egyenlet egyenértékű az (x  ) y  f ( )  f ( ) b additív
y

x
Cauchy egyenlettel, így az egyetlen folytonos megoldása az f ( ) ax b alakú


x
y
f ( )  f ( )  x  
y
x
elsőfokú függvények. Ellenben, ha az  f   vagy az
2  2 
y
f ( )  f ( )  x  
y
x
 f   függvényegyenlőtlenséget akarnánk megoldani, hamar
2  2 
belátjuk, hogy ezek a feladatok tulajdonképpen a Jensen egyenlőtlenséget jelentik,
vagyis képtelenség megadni az összes ilyen függvényt, hiszen ezen egyenlőtlensé-
gek éppen a konvexitás, illetve a konkavitás jellemző tulajdonságai. Már ez az egy-
szerű eszmefuttatás is nagyon jól szemlélteti azt, hogy a függvényegyenlőtlenségek
megoldása messzemenően meghaladja a függvényegyenletek megoldásának a ne-
hézségi fokát és szintjét.
Ugyanakkor, a függvényegyenlőtlenségek megoldása eltér minden más típusú
egyenlőtlenség megoldásától, ugyanis itt nem az x azon értékeit kell meghatározni,
amelyekre az egyenlőtlenség teljesül, hanem az ismeretlen f függvény képletét
kell meghatározni, ami megoldás minden megengedett x esetén.
Az előbbiekben bemutatottak ellenére mégis határozottan kijelenthetjük, hogy
a függvényegyenlőtlenségek megoldása szoros kapcsolatban áll a függvény egyen-
letek megoldásával, legalábbis ami a megoldási menetüket illeti. Például, ha egy
függvényegyenlőtlenségnek a megoldása ( )  kell legyen, akkor ezt két lépés-
x
f
x
ben – az egyenlőtlenségi reláció antiszimmetria tulajdonsága alapján – fogjuk iga-
x
x
zolni, vagyis igazoljuk, hogy ( )  és ( )  ahonnan nyilvánvalóan követ-
f
f
x
x
f
x
x
kezik az ( )  . De már előre leszögezzük, hogy az ilyen, éppen ellentétes irányú
253