Page 26 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

1 1

( f  rx )  f ( ) , ami azt jelenti, hogy f ( )  f ( ) , r  esetén. Ha most
x
rx
x
r  r
c
f
c
x  1, akkor   1  jelöléssel ( )  . Legyen most x és r  úgy, hogy
f
r
r n
c c
r
x
x
lim r  , ezért mivel f ( )  , határértékre térve kapjuk, hogy f ( )  ,
n n n r x
n

 x esetén.
Most egy olyan feladat következik, amely esetén a módszer egyes lépései nem
nyilvánvalóan következnek egymás után, hanem bizonyos részeredményeket is le
kell vezessünk ahhoz, hogy az NZQR módszert alkalmazhassuk. A megoldása alap-
ján beláthatjuk azt is, hogy mennyire is hatékony ez a módszer, kiváltképpen olyan-
kor, amikor konstruktív megoldásra vagyunk utalva.
X.6. Határozzuk meg azokat az f    folytonos függvényeket, amelyek teljesítik
:

f
y
x
y

y
x
x

f
az (x y  2 )  f ( )  f ( ) 2 ( ) függvényegyenletet, x y esetén!
,
Megoldás
Mivel a feladat megoldása komplexebb, ezért pontozzuk, hogy milyen lépése-
ket fogunk bizonyítani:
1) (0) 0 , ( 1)   f (1) ;
f


f
2) (x  1)  ( f  ) x  f (1) ;
f
x

x
f
x
f
x
f
f

3) (2 ) 2 ( ), (4 ) 4 ( ) , x  ;
x

f

4) (x n  f (1)n nf ( x ) (n  1) ( ) , n , x ;
)


f
x
f

5) ( x   f ( ) , x  ;
)
x
f
)

6) (x n  f ( )  f (1)n , n , x ;
7) ( ) nf ( ) , n , x ;
f
x

n
x
x

n
x
f
8) ( ) nf ( ) , n  , x ;
9) ( ) nf ( ) , n  , x ;
x
f
x

n
10) ( )  f (1)x , x  .
f
x
Kezdjük hát a bizonyításokat:
y

0
1) Ha x   , akkor (0) 0. Legyen (1) a , akkor, ha x  y  1 követ-
f
f

a
f
kezik, hogy ( 1)   .

)

x

f
x
2) Ha y   , akkor f ( x  1)  f ( ) a  2 ( x , ha pedig x    1,
1

f
f
x
y   1, akkor ( )  ( f   1) a  2 (x  1) . Ez utóbbi két egyenletet összeadva

x
kapjuk, hogy (x  1)  ( f  ) x  .
f
a
1
f
x
3) Ha x  2x , y   , akkor (2 )f x   2 ( x , tehát (4 )   2 ( 2 ) 
)
x

f

f
2
x
 4 ( ). Az (2 ) 2 ( ) az 5) alapján következik.
f
f
f
x

x
x
f
f
x

4) Ha x   , y   , akkor (x   ( f    2 ( )   ( f x  1) 2 ( ) ,
x
) x
a
1)
f
1
x

f
tehát (x  1) 2 ( )  ( f x  1) és teljesen hasonlóan (x  2) 2 (x  1)  f ( )
f
x

f
f
161