Page 23 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

Megoldás
Bebizonyítjuk, hogy a b) feltételből levezethető, hogy f monoton növekvő az
 -en, így hát visszavezetjük a feladatot az előzőre. Valóban, legyen x  x úgy,
1 2
h
x

x
h

hogy h  x  x  (0, ) . Ezért f ( ) 0 és f ( )  ( f x  ) h  f ( )  f ( ) 
1 2 1 2 2
  
x
 f ( ) 0  f ( ) vagyis f növekvő, vagyis f nem csökkenő az n ,(n 1)

x
2 2  
 2 2
intervallumokon, ahol n .
IX.6. Keressük meg az összes olyan :   függvényeket, amelyekre teljesülnek:
f
x
a) (x  ) y  f ( )  f ( ) , x y esetén;
y

f
,
b) létezik olyan   szám, amelyre f korlátos a (0, ) intervallumon.
0

Megoldás
q
x
x
Az a) feltétel alapján f ( )  qf ( ) , minden q, x esetén. Legyen
  tetszőleges pozitív számsorozat úgy, hogy lim x  . Adva van tehát az
x
0
n n 1 n
n
  sorozat, megválasztjuk a   racionális számsorozatot úgy, hogy telje-
q
x
n n 1 n n 1
1 1

sítse az  q  minden n esetén. Ekkor, ha n   , akkor q   .
n
n
x n 3 x n
2

Továbbá igaz az is, hogy x  q x  3 x , vagyis lim(q x ) 0 . Tehát az
n n n n n n
n
0
q x  sorozat a 0-hoz tart, ezért   esetén létezik olyan n  amelyre
n n n 1 0
q x  (0, ) minden n  n esetén. Ellenben a b) feltétel alapján létezik olyan

n n 0

x
x
M  , amelyre f ( )  M ,   (0, ) esetén. Ezért tehát f (q x )  M ,
 n n
 1  1 M
x

 n n esetén. Így hát f ( )  f q x   f q x    0 amint n   .
0 n  n n  n n
 q n  q n q n
Másképpen fogalmazva azt kaptuk, hogy egy adott   , lim x  sorozat ese-
x
0
n n 1 n n
tén, lim ( ) 0f x   f (0) , vagyis f folytonos egyetlen pontban, a 0-ban. Ellenben
n
n
az IX.1. feladat alapján ez azt jelenti, hogy f folytonos az egész  -en, így hát
f   x  ax minden valós x esetén.
IX.7. Keressük meg az összes olyan :   függvényeket amelyekre teljesülnek:
f
a) (x  ) y  f ( )  f ( ) , x y esetén;
f
x
y
,

b) f deriválható az  -en.
1. Megoldás
A deriválhatóság nyilván több mint a folytonosság, de ilyen feltétel mellett, a
megoldás is sokat egyszerűsödik. Ha az (x  ) y  f ( )  f ( ) egyenletet x sze-
f
y
x
x
rint deriváljuk, akkor azt kapjuk, hogy f '(x  ) y  f '( ) minden x , y valós szám
137