Page 22 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

1  1  1
Az (1) összefüggésben legyen most x  ezért f    a adódik, ahol a  f (1).
n  n  n
m
Ugyancsak az (1) összefüggésben legyen most x  így azt kapjuk, hogy
n
 m   m  m
m
am  f ( ) nf   ahonnan f    a vagyis bizonyítottuk a képletet

 n   n  n
m
 esetén is. Végül legyen x  ,r  0, ,x  . Ekkor a folytonosság
r
n  n  n

miatt ar  limax  lim ( )  f  lim x   f ( ) , vagyis ( )f x  ax , x  0, .
r
f
x
n n n n n n
Ezt a bizonyított esetet, a feladatok megoldása során sokszor fogjuk használni.
A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy a függvény folytonossága, milyen más
egyenértékű feltétellel helyettesíthető.
IX.3. Keressük meg az összes olyan :   függvényeket amelyekre teljesülnek:
f
f

,
x
y
a) (x  ) y  f ( )  f ( ) , x y esetén;
b) f folytonos egy adott x  pontban.
0
Megoldás
Bizonyítani fogjuk, hogy a függvényegyenlet alapján, az egyetlen pontban való
folytonosságból levezethető az, hogy f folytonos az egész  -en, így hát
f   x  ax minden x esetén.
y
x
Legyen x tetszőleges, h  x   , y  , x h  x . Akkor felírható
0 0
h
h
f
f
f
y
lim ( )  lim (h  (x  x ))  lim( ( )  ( f x  x 0 ))  lim f ( )  ( f x  x 0 ) 
0
y x y x y x h 0 x
x

)
x
 f ( )  ( f x x  ( f x  x x 0 )  f ( ), és ezzel bizonyítottuk az állításunkat.

0
0
0
IX.4. Keressük meg az összes olyan :   függvényeket amelyekre teljesülnek:
f
y
a) (x  ) y  f ( )  f ( ) , x y esetén;
,

x
f
b) f monoton növekvő az  -en.
Megoldás

q
f
Az V. fejezetben bebizonyítottuk, hogy ( ) cq minden q esetén. Le-
gyen most x , valamint   egy monoton növekvő valós számsorozat,
a
n n 1
  pedig egy monoton csökkenő valós számsorozat úgy, hogy a  x b min-
b

n n 1 n n
x
b
den n esetén. Ekkor a b) feltétel alapján f ( )  f ( )  f ( ) 
a
n
n
x

 ca  f ( )  cb , ahol határértékre térve felírható, hogy limca  f ( ) limcb ,
x
n n n n
n n
x
így hát ( ) ax , minden x esetén.

f
IX.5. Keressük meg az összes olyan :   függvényeket amelyekre teljesülnek:
f
,
f
x
y
a) (x  ) y  f ( )  f ( ) , x y esetén;

0
x
b) létezik olyan   szám úgy, hogy ( )  , x (0, ) .
f


0
136