Page 21 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

IX. A Cauchy függvényegyenlet megoldása
különböző feltételekkel

A VI. fejezetben az (x  ) y  f ( )  f ( ) ún. I. típusú Cauchy egyenlettel
x
y
f
foglalkoztunk, amelynek a folytonos f    megoldásait kerestük. A folytonos-
:
x

ságra tulajdonképpen akkor volt szükség, amikor kiindulva abból, hogy ( ) ax
f
x

\
minden x esetén, azt bizonyítottuk, hogy f ( ) ax minden x  esetén
is. Ennek az alapgondolata az volt, hogy az irracionális számok sűrűn helyezkednek
\
el a racionális számok között, vagyis minden x  esetén, létezik olyan
  racionális számsorozat, amely esetén x  . Így az f folytonossága miatt
x
x
n n 1 n
úgymond átöröklődött az ( ) ax minden x képlet, az x  esetére is.

f
\
x
Mindezek mellett azonban természetesen merül fel a kérdés, hogy vajon mit
mondhatunk az f függvény alakjáról, ha f nem folytonos, hanem más esetleg
enyhébb tulajdonságai vannak? Ilyen kérdésekre próbálunk választ adni az alábbi-
akban, amelyekkel híres matematikusok is foglalkoztak.
Előbb azonban azt az esetet vizsgáljuk, amikor az egyik változó csak pozitív
értékeket vehet föl.
IX.1. Keressük meg az összes olyan folytonos f    függvényeket amelyekre
:
f
y
x

teljesül: (x  ) y  f ( )  f ( ) , x  , y esetén.

Megoldás
Természetesen, a feladat megoldható a már bemutatott konstruktív eljárással is,
ellenben most egy érdekesebb megoldást mutatunk be.
0
Bármely a  esetén megválasztható c  úgy, hogy a b  2c  ,
0
,b
)
c


c
b  2c  legyen. Ekkor egyrészt f (a b  2 )  ( f a b  f (2 ) másrészt
0
c
b

a
c
( f a b 2 )  f ( ) ( f b 2 )  f ( ) f ( ) f (2 ), tehát a kifejezések egyenlősé-
c
a
b
f
)
géből azt kapjuk, hogy (a b  f ( ) f ( ), a ,b , tehát ( )f x  kx , x  .

a
Nézzük most – a gyakorlatokban is gyakran előforduló – azon esetet amikor
mind a két változó nemnegatív valós szám.
IX.2. Keressük meg az összes olyan  : 0,f     folytonos függvényt amelyre

y
f
teljesül: (x  ) y  f ( )  f ( ) , x y ,  0, esetén.
x
Megoldás
Ezúttal is alkalmazhatjuk a már bemutatott konstruktív módszert. Most ellenben
annak egy más változatát mutatjuk be. Az adott összefüggés alapján indukcióval bi-

x
)
f
x
x
zonyítható, hogy (x  x  ... x  f ( )  f ( ) ... f ( ) , x , ,...,x  0, .


x
1 2 n 1 2 n 1 2 n

x
Legyen most x  x  ...  x  x , így (nx  nf ( ) , x  0, , n (1). Ha
f
)
1 2 n
most x  , akkor máris megkaptuk, hogy f ( ) an ,   ahol a  f (1).
1
n
n

135