Page 18 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

VIII. A Cauchy függvényegyenletre visszavezethető feladatok

Az előző két fejezetben megismerkedhettünk a Cauchy függvényegyenletekkel
és a Pexider függvényegyenlettel. Azt is láttuk, hogy ezen Pexider egyenletek meg-
oldása szintén visszavezethető az I. típusú Cauchy egyenlet megoldására. Minden
esetben csak folytonos megoldásokat kerestünk.
A továbbiakban az előző Cauchy és Pexider egyenletekre, vagy más ismert
egyenletekre (például Jensen egyenlet) visszavezethető feladatokat mutatunk be.

1. Első feladatcsoport

VIII.1.1. Melyek azok az f    folytonos függvények, amelyek teljesítik az
:
2
3
( f x  y 3 )  xf ( )  yf (y 2 ) egyenletet, minden ,x y esetén?
x
Megoldás
3
0
y

x
Ha x   , akkor f (0) 0 adódik. Ha csak y  , akkor f ( )  xf ( ) ,
0
x
3
3
3
x
y
)
tehát (f y 3 )  yf ( ) , így az eredeti egyenlet alapján (x  y 3 )  f ( )  ( f y , így
f
3
3
u
w
az x  , u y  w jelölésekkel (f u w )  f ( )  f ( ) adódik, tehát ( ) ax
x
.

f
VIII.1.2. Melyek azok az f    folytonos függvények, amelyek teljesítik az
:
x
x
x
y
y
f
y
x
xf ( )  yf ( )  f ( )  f ( ) ( ) egyenletet, minden , y esetén?
Megoldás
x
g

Vezessük be a következő változócserét: ( )  f ( ) x és ekkor kapjuk, hogy
x

x
x
g ( )  g ( ) ( ) ami Cauchy egyenlet, és a megoldása g ( )  x ezért
g
y
y
x

x
f ( )   x .
x
VIII.1.3. Melyek azok az f :(0, )   folytonos függvények, amelyek teljesítik

x
x
)
az (x y  xf ( )  yf ( ) egyenletet, minden , y esetén?
y
f

Megoldás
Vegyük észre, hogy ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk xy -nal, akkor
f ( )
x
bevezethető a ( )g x  változócsere, és   g xy  g   x  g   y adódik, aminek
x
f ( )
x
a megoldása   x  a lnx, tehát  a ln x , ahonnan ( )f x  ax ln x .
g
x
VIII.1.4. Melyek azok az f    folytonos függvények, amelyekre
:
2
y
( f x  ) y  xf ( )  f ( ) , x y ,  esetén?
x
Megoldás
2
x
0
Ha x  1, y   f (1)  f (1)  f (0)  f (0) 0 . Ha y   f ( )  xf ( ) .
0
x

2
2
2
x
x
y
y
u
Tehát f (x  ) y  xf ( )  f ( )  f ( )  f ( ) , ezért ha x  , y  w, akkor
( f u w  f ( )  f ( ) , tehát ( ) ax

.
f
x
)

u
w
112