Page 19 - Tuzson - Ismerkedes - mutatvany

VIII.1.5. Melyek azok az f    folytonos függvények, amelyekre
:
x

( f x  ) y  f ( )  f ( )  xy (x  ) y , x y esetén?
,
y
Megoldás
x 3
Végezzük el a g ( )  f ( )  helyettesítést, és kapjuk, hogy g (x  ) y 
x
x
3
x 3
g
x
x
x
 g ( )  g ( ) , tehát ( ) ax  f ( )   ax .

y
3
VIII.1.6. Melyek azok az f    folytonos függvények, amelyekre
:


f
t
t
)

x
( f x t  f ( )  f ( ) 2 f ( ) ( ) , x ,t  esetén?
x
Megoldás
2 2 2
x
Legyen ( )  f ( ) , így  (x t )   ( )g x   ( )g t   2 ( ) ( ) , vagyis
g
g
x

g
t
x
g
2 2
x
g
t

 (g x t )   ( )g x  ( g  ) t és a függvény pozitivitása alapján (x t  g ( ) g ( )

)
2
2
x
adódik, ezért ( )g x  ax  f ( )  a x , amit ha visszahelyettesítünk az egyenletbe,
teljesíti azt.
VIII.1.7. Melyek azok az f    folytonos függvények, amelyekre
:
f  (f x   ) y  f ( )  f ( ) , x y ,  esetén?
x
y
Megoldás
f
0
x
Ha y  , akkor kapjuk, hogy ( ( ))  f ( )  f (0) ezért az eredeti egyenlet
f
x
x
x
így alakul: f (x  ) y  f (0)  f ( )  f ( ) , ezért a g ( )  f ( )  f (0) jelöléssel
x
y
x
g

x

x

kapjuk, hogy (x  ) y  g ( ) g ( ) , tehát ( ) ax  f ( ) ax  f (0) .
y
g
VIII.1.8. Melyek azok az f    folytonos függvények, amelyekre
:
f  (f x   ) y  ( f x  ) y  f ( ) ( ) , x y ,  esetén?
y
f
x
Megoldás
x
0
f
x
Ha y  , akkor kapjuk, hogy f ( ( ))  f ( )  f (0) ( ) ezért az eredeti
f
x
egyenlet így alakul: f (x  ) y  ( f x  y ) (0)  ( f x  ) y  f ( )  f ( ) , vagyis
f
x
y

f
y
f
x
x


f (0) (x  ) y  f ( ) ( ) . Ha (0) 0  f ( ) 0 , ha pedig a  f (0) 0 , akkor
f
f ( ) bx bx
x
x
x
x
g
y
legyen g ( )   ( g x  ) y  g ( ) ( ) ahonnan g ( )  e  f ( )  ae
x
a
ellenben ezt visszahelyettesítve, nem teljesíti a kitűzött egyenletet.
VIII.1.9. Határozzuk meg azokat az f    függvényeket, amelyekre teljesül-
:
nek a következő feltételek:
a) f folytonos az  -en; b) lim  ( )f t   t   ;
t
f
x
x
y
y


f

y

c) (x  ) y  f ( ) ( ) xf ( ) yf ( ) xy x  minden valós , x y értékre,

és   1f  e 1.
113