Page 200 - vol2

n  n  n  
y = 2   cos − sin  . Tehát
n
 4 4 
n 
n
n
A = x  A y I = 2  sin n  A+ 2   cos n − sin n   I . Ebből

+
n
n
2
4  4 4  2
n   n  
n  cos 4 sin 4 
azonnal adódik, hogy A = 2   , n  esetén.
n
 − sin n  cos n  
  4 4  
 0 − 1
n
7. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 1 1 
esetén!
1. Megoldás: mivel t = d = 1, ezért a karakterisztikus egyenlet
+
A − A I = O . Ha most mind a két oldalt megszorozzuk A I+ 2 -vel, akkor azt
2
2
2
3
6
3
kapjuk, hogy A + I = O  A = − I  A = I . Tehát
2
2
2
2
6k
A = I 2 , A 6k+ 1 = , A A 6k+ 2 = A 2 , A 6k+ 3 = A 3 , A 6k+ 4 = A 4 , A 6k+ 5 = A .
5
2. Megoldás: mivel t = d = 1 ezért a karakterisztikus egyenlet
A − A I = O , tehát A = x  A + y  I ahol x n + 1 − x + x n − 1 = 0 , és
2
n
+
n
n
2
2
n
2
y n + 1 − y + y n − 1 = 0 . továbbá x = 0 0, y = 0 1
n
valamint x = 1 1, y = 0 0. A két rekurziós egyenletnek ugyanaz a
2
=
karakterisztikus egyenlete, r − + 1 0 amelynek a két különböző
r
+
1 i 3  
komplex gyöke r = = cos + i sin illetve
1
2 6 6
−
1 i 3   n  n 
r = = cos i − sin . Tehát x =  cos +  sin , x = 0,x = 1
1
2 6 6 n 6 6 0 1
n n  n 
ezért x = 2 sin . Továbbá y =  cos +  sin , y = 1, y = 0, ezért

n
6 n 6 6 0 1
y = n cos n 6  − 3sin n 6  . Tehát

200