Page 146 - vol2

1 1 1
13. feladat: Ha b = + + ...+ , számítsuk ki az
n
n + 1 n + 2 n + n
2
2
2
L = limb határértéket. Megoldás: Felírható, hogy:
n→ n
1 1 1 n n 2
b  + + ...+ = = = a , és
n
n
2
2
2
2
2
n + n n + n n + n n + n n + n
1 1 1 n n 2
b  + + ...+ = = = c . Ezért,
n
n
2
n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 n + 1
2
2
2
2
mivel lima = limc = 1, a rendőrelv értelmében L = limb = 1.
n→ n n→ n n→ n
 1  1   1 
14. feladat: Ha b =  1+  1+  + ...+  1+  ,
n
2
2
2
n
 n + 1  n + 2   n + 
számítsuk ki az L = limb határértéket.
n→ n
Megoldás: Felírható, hogy
 1  1   1   1  n
b   1+  1+  + ...+  1+   1+  = a n
=
n
2
2
2
2
n
 n +  n +   n +   n + 
n
n
n
és
 1  1   1   1  n
=
b   1+  1+  + ...+  1+   1+  = c .
n
2
2
2
2
 n + 1  n + 1   n + 1   n + 1  n
Ezért mivel lima = limc = e, a rendőrelv alapján L = limb = e.
n→ n n→ n n→ n
  
15. feladat: Ha b = sin + sin + ... sin ,
+
n
2
2
n + 1 n + 2 n + n
2
számítsuk ki az L = limb határértéket.
n→ n
   
Megoldás: Belátható, hogy   0,  , és ebben az
n + k  2 
2
intervallumban a sinus függvény szigorúan növekvő, ezért:
   
b  sin + sin + ... sin = n sin = a
+
n
n
n + n n + n n + n n + n
2
2
2
2
146