Page 142 - vol2

Ha 2 rendőr közrefog egy tolvajt, és ha a 2 rendőr a rendőrőrsre megy
világos, hogy a tolvajnak is velük együtt ugyan oda kell mennie.
Ebből kifolyólag a továbbiakban mi is a rendőrelv elnevezést fogjuk
használni.
A továbbiakban számos reprezentatív, sokszínű és változatos
feladaton keresztül szemléltetni fogjuk a rendőrelv és
következményeinek az alkalmazási módszereit.
2n + sin 2n
1. feladat: Számítsuk ki az L = lim határértéket!
n→ 3n + sin3n
Megoldás: Az erőltetett tényező módszerét alkalmazva felírható, hogy
 sin 2n  sin 2n
n  2 +  2 +
L = lim  n  = lim n , de a 0-ra való minorálás alapján
n→  sin3n  n→ sin3n
n  3+  3+
 n  n
sin 2n 1 sin3n 1 1
0  lim  , és 0 lim  , de mivel lim = 0 , ezért
n→ n n n→ n n n→ n
sin 2n sin3n 2
lim = 0 és lim = 0 , így L = .
n→ n n→ n 3
2. feladat: Számítsuk ki az L = lim n határértéket.
n
n→
=
Megoldás: Nyilvánvalóan 1 n n , továbbá legyen n n − 1 a , tehát
n
0  a , és n n = a + n 1, ezért a binomképlet alapján
n
( n n − 1) ( n n − 1)
+

+
n = (1 a ) = 1 n a + a + ... a , tehát n  a .
+
n
n
2
2
n
n
2 n n 2 n
2 2
Tehát 0  n n − 1 , és mivel lim = 0 , ezért a rendőrelv
n − 1 n→ n − 1
alapján L=1.
! n
3. feladat: Számítsuk ki az L = határértéket.
2 n
Megoldás: Írjuk fel rendre a következőket:
! n = 1 2 3 4 ... n = 1  3 4 ... n   1  3 3 ... 3  = 1   n− 2 és
3

   

 
 

 

2 n 2 2 2 2 2 2  2 2 2   2   2 2 2   2  
2
 3  n− 2
mivel lim   = + , ezért a  -re való majorálás alapján L= + .
n→  2 
142