Page 143 - vol2

! n
4. feladat: Számítsuk ki az L = lim
+
+
+
+
1 k
+
+
n→ (1 1 )(1 2 2 k )...(1 n 1 k )
határértéket, ha k >0.
Megoldás: Felírható, hogy
! n ! n ! n 1
0   = = , de
+
+
+
+
+
+
+
+
1 k
+
+

n
(1 1 )(1 2 2 k )...(1 n 1 k ) 1 1 k 2  2 k  ... n 1 k ( !) 1 k ( !) k
n
1
mivel k >0, ezért lim = 0 , így a 0-ra való minorálás alapján L= 0.
n
n→ ( !) k
5. feladat: Számítsuk ki az L = lim 1 + 2 + ... n határértéket, ha
+
n
k
k
k
n→
k >0.
Megoldás: Rendre felírható, hogy:
k
k
k
+
k
k
n
n n = n n 1  k  n 1 + 2 + ... n  n n = ( n ) . És mivel
lim n = n lim( n ) = k 1, ezért a rendőrelv alapján L= 1.
n
n→ n→
n
n
n

n
n
6. feladat: Számítsuk ki az L = lim 3 + 5 + 2 4 + 3 7 határértéket.

n→
Megoldás: Rendre felírható, hogy:
n
n
n
n
n
n



n

n
n

7 = n 7  n 3 + 5 + 2 4 + 3 7  n 7 + 7 + 2 7 + 3 7 = n 7 7 = 7 7
n
n
, és mivel lim 7 1= , ezért a rendőrelv alapján L= 7.
n
n→

7. feladat: Számítsuk ki az L = lim  n + 2 n határértéket, ha   x az x
n→
valós szám törtrészét jelenti.
Megoldás: Minden valós x szám esetén x =     x+ x , ahol   x az x valós
szám egész részét jelenti. Tehát   x = x −   x , ezért


x =  n + n = n + −   n + n .
2
2
2
n

n
2
2
2
De n = n  n +  (n+ 1) = + 1, ha n  , ezért  n + 2 n =  n ,
2
n
n
 
n n 1
tehát x = n + n n = , és mivel lim = , ezért
−
2
n
+
n + 2 n n n→ n + 2 n n 2
+
1
L = .
2
143