Page 147 - vol2

   
és b  sin + sin + ... sin = n sin = c .
+
n
n + 1 n + 1 n + 1 n + 1 n
2
2
2
2
sin x
Ezért mivel lim n = 1, így lima = limc =  , a rendőrelv alapján
n x → 0 x n n→ n n→ n
L = limb =  .
n→ n
+
+
+
1 1 2 2 2 2 n n 2
16. feladat: Ha b = n + 1 n + 2 + ...+ n + n , számítsuk ki az
+
3
3
3
n
L = limb határértéket.
n→ n
Megoldás: Felírható, hogy:
( n n + 1) ( n n + 1)(2n + 1)
+
+
+
1 1 2 2 2 2 n n 2 2 + 6
b  n + n + n + n + ...+ n + n = n + n = a
3
3
n
n
3
3
( n n + 1) ( n n + 1)(2n + 1)
+
+
+
1 1 2 2 2 2 n n 2 2 + 6
és b  n + 1 + n + 1 + ...+ n + 1 = n + 1 = c , ezért
3
n
3
3
3
n
1 1
mivel lim a = lim c = , a rendőrelv értelmében L = .
n→ n n→ n 3 3
 1 1 1 
17. feladat: Ha b = n  1− − − ...−  , számítsuk
n
2
2
 n + 1 n + 2 n +  2 n
ki az L = limb határértéket.
n→ n
Megoldás: Észrevehető, hogy a 12. feladat értelmében   0 határozatlan
esettel állunk szembe. Mivel
n
n
n
b = n    1 − 1   =  n + 2 k − n =  k =
n
2
2
2
k=  1 n n +  2 k k= 1 n + k k= 1 n + ( k n + + ) n
k
n
=  k .Ezért felírható, hogy
+
2
2
k= 1 n + k n n + k
( n n + 1)
n 
b = n k   n k = 2 = a n
2
+
2
2
+
2
+
2
2
k= 1 n + k n n + k k= 1 n + n n n + n n + n n n + n
, valamint az, hogy
147