Page 141 - vol2

16. A fogótétel alkalmazása

Minden bizonnyal nincs más olyan matematikai tétel amelynek
olyan sok megnevezése lenne, mint az úgynevezett fogótételnek,
amelynek gyakoribb megnevezései: rendőrelv, csendőrelv, zsarutétel,
zsandárszabály, közrefogási elv, szendvicstétel. Ez a tétel sorozatokra és
függvényekre is egyaránt létezik, és ezt feladatmegoldási módszerként is
alkalmazzuk, amire a matematikai analízisben nagy szükségünk van.
Előbb ismertetjük tehát a sorozatokra vonatkozó fogótételt és
következményeit:
1. Tétel: Legyenek ( ) ,( ) ,( )a n n  1 b n n  1 c n n  1 valós számsorozatok úgy, hogy

c
R
az ( )a n n  1 ,( )  1 sorozatok konvergensek, és lima = limc = x, x
n n
n→ n n→ n
és a  n b  n c . Akkor a ( )b sorozat is konvergens, és limb = is
x
n n
n
1
n→ n
igaz.
Bizonyítás: Az  -os konvergencia kritériumot használva,   0 esetén
léteznek olyan n és n küszöbindexek, hogy bármely n  max( , )
n
n
a
c
a
c
 
esetén a − x  és c − x  . Ekkor, a háromszög egyenlőtlensége
n
3 n 3
alapján
 
b − x = b − c + c − x  b − c + c − x  (c − b ) +  (c − a ) + 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
3 n n 3
 
 c − x + a − x +  3 =  ami éppen azt jelenti, hogy a ( )b
n
n
3 3 n n 1
x
sorozat is konvergens, és limb = is igaz.
n→ n
b
1. Következmény (majorálás a  -re): Legyenek ( )a n n  1 ,( )  1 valós
n n
számsorozatok úgy, hogy a  b és lima = + és. Akkor limb = +
n
n
n→ n n→ n
is igaz.
2. Következmény (minorálás a 0-ra): Legyenek ( ) ,( )b c valós
n n  1 n n  1
számsorozatok úgy, hogy 0 b  c és limc = . Akkor a limb = is
0
0
n n n→ n n→ n
igaz.
Az előbbi tételnek a rendőrelv és a többi elnevezései a következő
hasonlatból kapták a nevüket:
141