Page 203 - vol2

23. Lineáris rekurziók megoldása mátrixokkal

x =  ax + by
,
Ebben a paragrafusban az  n+ 1 n n ( , , , ,a b c d x y adottak)
0
0
 y n+ 1 = cx + n dy n
lineáris rekurencia egyenletrendszer megoldásával foglalkozunk,
mátrixok hatványozásának a segítségével. Ennek a kivitelezéséhez,
nézzük csak át az előző, IV. részben leírtakból a következőket:

Ott bizonyítottuk, hogy bármely másodrendű X mátrix esetén
+
X = n x X + n y I (1) alakra írható, ahol az r − tr d = 0 karakterisztikus
2
n
2
egyenlet gyökeinek természete szerint felírtuk, hogy:
n
1) Ha   0 akkor x = n  r + 1 n  r és y = n r  1 n + r  2 n (2)
2
n
2) Ha  = 0 akkor x n (=  + ) n r és y n (=  + ) r r (3)
n

+
n
t
3) Ha   0 akkor x = n  n ( cosnt  sin ) és

y = n  n ( cosnt  sin ) , ahol  = r (4)
+
t
n
Ezek segítségével, a mátrixok hatványozása csupán mátrixegyenletekkel
is felírható, a következő módon:
2
Felírjuk a mátrix X − tX + dI = O karakterisztikus egyenletét,
2
2
+
amelynek a numerikus formája r − tr d = 0 . Most, ha az (1)-be rendbe
2
behelyettesítjük a (2), (3), (4) összefüggéseket azt kapjuk, hogy:
n
n
n
1) Ha   0 akkor X = r  B r  (2’)
+
C
1
2
2) Ha  = 0 akkor X = n (B nC r+ ) n (3’)
3) Ha   0 akkor x =  n (B cosnt C sin ) , ahol  = r (4’)
+
n
t
n
n
Tehát ezen képletek segítségével, azonnal meghatározható az X
mátrixhatvány, ahol a B ,C mátrixokat a kezdetértéki feltételekből
határozzuk meg.

203