Page 201 - vol2

n  n n 
n
+


A = x  A y I = 2 sin  A+  cos − 3sin  I .
n
2
n
6  6 6  2
Vegyük észre, hogy a két megoldás összhangban van egymással, ugyanis
n  n 
a cos ,sin éppen 6 periodikusak.
6 6
−
 2b a a b  −
n
8. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt
−
 2b − 2a 2a b 
 n  * esetén!
Megoldás: számolásokkal ellenőrizhető, hogy t = + , b d = ab ezért a
a
karakterisztikus egyenlet A − (a b )A abI = O . Tehát
2
+
+
2
2
+

A = x  A + y  I ahol x n + 1 − (a b x + ab x n − 1 = 0, és

n
)
2
n
n
n


+
)
y − (a b y + ab y = 0. továbbá x = 0, y = 1 valamint x = 1, y = 0
n + 1 n n − 1 0 0 1 0
A két rekurziós egyenletnek ugyanaz a karakterisztikus egyenlete,
2
r − (a b )r ab = amelynek a két különböző komplex gyökei
+
+
0
1
x =  a  n +  b  n és x = 0,x = 1 így x = ( a − n b n ) . Továbbá
n
n
0
−
1
a b
1

n
n

y =  a +  b és y = 0 1, y = 1 0 ezért y = a b ( ba− n + ab n ) ,
n
n
−
n
n
A = x  A y I = 1 ( a − b n ) A + 1 ( ba− n + ab n ) I , így

+
2
n
n
−
−
a b a b 2
 2b − n a n a − n b  n
A =  n  n  esetén.
 n n n n 
 2b − 2a 2a − b 
 1 1
n
9. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
 1 0 
esetén!
Megoldás: ezzel a feladattal az I. részben foglalkoztunk, ahol indukcióval
igazoltuk, hogy

201