Page 15 - Mutatvany - Tuzson Zoltan - Tippek trukkok otletek 5-6 osztaly

5n − 1 7n + 3
313. Igazoljuk, hogy és törtek nem lehetnek egyidőben
4 4
egész számok, egyetlen n esetén sem.
Megoldás
A lehetetlenre való visszavezetést fogjuk alkalmazni. Feltételezzük,
5n − 1 7n + 3
hogy mind a két tört egész szám, ezért = a és = b ,
4 4
=
tehát 5n − 1 4a , 7n + 3 4b . A két összefüggésből küszöböljük ki az
=
n-et, ezért szorozzuk be az első egyenletet –7-tel, a másodikat pedig 5-tel,
és adjuk össze őket: 5 4b − 7 4a = (35n + 15 ) ( 35n+ − + ) 7 . Azt kapjuk,

hogy 4(7a + 5 ) 22, vagyis 2(7a + 5 ) 11, de ez lehetetlen, mert a bal
=
=
b
b
oldal páros szám (a nulla is az), a jobb oldal pedig páratlan. Tehát a felté-
telezésünk hamis, ami azt jelenti, hogy csak az egyik tört lehet egész szám.
314. Az a, b, c különböző természetes számok négyzetszámok. Igazoljuk,
hogy ab bc ca+ + + 23 2abc .

Megoldás
Az egyenlőtlenséget osszuk végig abc -vel, ekkor tulajdonképpen azt
1 1 1 23
kell bizonyítani, hogy + + +  2 . A feltételek alapján a számok
a b c abc
(valamilyen sorrendben) nem kisebbek mint 1, 4 és 9. Legyen a  , b  4,
1
1 1 1 1 1 1 1 1
c  9 , ekkor abc  36 és  ,  ,  , illetve  , ezért
a 1 b 4 c 9 abc 36
1
1 + 1 + + 23  + + + 23 = 2, és ezzel a feladatot megoldottuk.
1 1
1
a b c abc 1 4 9 36

154