Page 16 - Microsoft Word - Tuzson Miert_nem_lehet_javitva8_001-135p.doc

Megoldások

12.1. Az általánosság csorbítása nélkül feltehető, hogy a szóban forgó

rácspont éppen az (0,0)O . Így az egyenes egyenlete y  m x. Ha m,
akkor az egyenes csak a (0,0) rácsponton halad át, más rácsponton nem. Ha

p x
m, akkor léteznek olyan ,pq , q  számok, amelyekre y  ,
0
q
és ezért az egyenes végtelen sok rácsponton halad át, mivel az összes
(kq, kp) alakú rácspontot tartalmazza, bármely k  esetén.
12.2. Nyilván, egy ilyen rácsegyenesnél az abszcisszatengellyel bezárt
szög tangense racionális szám. Jelölje u, illetve v a két rácsegyenesnek az
abszcisszatengellyel bezárt hajlásszögét. Így az általuk bezárt szög uv , és
tgu  tgv
a tg(uv  ) képlet alapján tg(uv , hiszen tg ,tgv.


u
)
1tgu  tgv

12.3. Ha lenne, akkor a háromszögre épített rácstéglalap területe termé-
szetes szám lenne. De az így keletkező két derékszögű rácsháromszög terü-
lete is racionális szám, ahonnan az eredeti háromszög területe is racionális
a 2 3
szám lenne, ami ellentmondás, mivel T  .
4
12.4. Ha meghúzzuk az ötszög átlóit, ezek egy-egy szemközti oldallal
párhuzamos rácsszakaszok lesznek, és az átlók metszéspontjai által keletke-
zett ötszög szintén szabályos rácsötszög, de kisebb az eredetinél. Az eljárást
tetszőleges sokszor megismételhetjük, és egy bizonyos lépés után elérhető,
hogy a rácsötszög már pl. egy rácsegységen belül essék, ez abszurdum.
12.5. Minden második csúcsát összekötve szabályos rácsháromszöget
kapunk, de mint láttuk, ez lehetetlen.
12.6. Ha létezne, akkor tükrözzük ennek minden csúcsát a vele szom-
szédos két csúcsot összekötő szakasz felezőpontjára, így egy újabb (de
kisebb) szabályos rács-n-szöget kapunk, és ez az eljárás a végtelenségig
folytatható. (A fenti eljárás n{3, 5, 6} esetén nem alkalmazható.)
m
12.7. Az   , mn és n  esetben a t  cot függvény
,
0
n
legfeljebb 2n különböző értéket vehet föl, hiszen az x  10 egyenlet
2n


87