Page 12 - Microsoft Word - Tuzson Miert_nem_lehet_javitva8_001-135p.doc

Megoldások


9.1. Felírhatjuk, hogy x  3y  2 17  x  2 3(y  2 5) 2 , de ez az egyenlő-
2
ség lehetetlen, mivel egy teljes négyzet csak vagy M3 vagy M3+1 alakú lehet.
9.2. Feltételezzük az ellenkezőjét, és emeljük négyzetre mind a két oldalt.

25 2x  2 3y 2
2
Kapjuk, hogy 2x  3y  2 2xy 6  25  6   . Ez
2xy
abszurdum, hacsak nem xy  , de ez nem lehet, mert visszaírva az
0
egyenletbe, 05 abszurdum adódik.
9.3. A bal oldalon a szorzatban szerepel 3 egymás utáni szám, ezért a bal
oldal M3 alakú, így y  M 31, ami lehetetlen, hiszen egy teljes négyzet

2
M3 vagy M3+1 alakú.
9.4. Az egyenletből következik, hogy (x  1)(y  2 1)  xy  1
2
 (x  2 1)(y  2 1) , ha x  és y  . Ha x  , akkor y nem lesz
2
2
2
2
természetes szám, ha pedig y  , akkor x nem lesz természetes szám.
9.5. 1991y  x  2 1. Mivel 1991 11 181  , így 11 x  . De ismert, hogy
2
1
2
1
ha px  és p prímszám, akkor p=M4+1 alakú, de 11=M4+3 alakú.

9.6. Felírható, hogy x  (2y  1)(2y  3) , de (2y  1;2y  3) 1 így szük-
3


séges, hogy 2y  1 m és 2y  3 n legyen, ahonnan n  m  4 
3
3
3
3

 (nm )(n  2 nm m 2 )  4, aminek az alapján vagy nm  2 és
n  2 nm m  2 2, vagy nm  1 és n  nm m  2 4, de egyik egyenlet-


2
rendszernek sincs megoldása az × halmazon.
9.7. Az x  nem megoldás, továbbá x  2xy  2y  2 4y  3 0 
2
y

 (xy )  2 y 2 (4y  1) . Ezért a 4y  1 teljes négyzet kell hogy legyen. De
egy teljes négyzet vagy M4 vagy M4+1 alakú lehet, semmiképpen sem
M 
41 alakú.
9.8. Felírható, hogy x  (y  1)(y  n y n 1  ... y   1) és y  y  n y n 1  ...
n
n
n
... y 
... y 1 (y  1) , így y  y n 1  1 nem lehet teljes n-edik hatvány,
n
(
1)
ezért létezik olyan p prímszám, amivel osztható. Ugyanakkor py  ,

ahonnan px . Tehát y  Mp  1, így y  y n 1  1 Mp  (n  1)
n
... y 
(hiszen y  k Mp  1 alakú), ami osztható p-vel, tehát pn  1) .
(
68